Question

7．已知a、b为有理数，m、n分别表示$\sqrt{7}$的整数部分和小数部分，且amn+bn²=4，则2a+b=$\frac{20}{3}$．

Answer 1

分析 只需首先对$\sqrt{7}$估算出大小，从而求出其整数部分m，其小数部分用$\sqrt{7}$-m表示．再分别代入amn+bn²=4进行计算，求出m，n的值，代入2a+b即得结果．

解答 解：∵4＜7＜9，
∴2＜$\sqrt{7}$＜3，
∴m=2，n=$\sqrt{7}$-2，
∵amn+bn²=4，
∴mna+bn²=（2$\sqrt{7}$-4）a+b（11-4$\sqrt{7}$）=4，
即（11b-4a）+（2$\sqrt{7}$a-4$\sqrt{7}$b）=4，
等式两边相对照，右边不含$\sqrt{7}$，
∴11b-4a=4且2a-4b=0，
解得a=$\frac{8}{3}$，b=$\frac{4}{3}$，
∴2a+b=$\frac{20}{3}$．
故答案为：$\frac{20}{3}$．

点评 本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个无理数的大小是解决此类问题的关键．