Question

19．由两条长度分别为a和b的铁丝分别围成一个正三角形和一个正六边形，若它们的面积相等，则$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，分别设出边长并表示出面积后即可利用面积相等得到答案．

解答 解：由题意可得正三角形的边长为$\frac{a}{3}$，则正六边形的边长为$\frac{b}{6}$；
（1）过A作AD⊥BC于D，则∠BAD=30°，

AD=AB•cos30°=$\frac{a}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}a}{6}$a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{a}{3}$×$\frac{\sqrt{3}a}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{36}$a²；
（2）连接OA、OB，过O作OD⊥AB；

∵∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∴∠AOD=30°，
OD=$\frac{AD}{tan30°}$=$\frac{\frac{b}{12}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}b}{12}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{b}{6}$×$\frac{\sqrt{3}b}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{144}$b²，
∴S_六边形=6S_△OAB=6×$\frac{\sqrt{3}}{144}$b²=$\frac{\sqrt{3}}{24}$b²，
∵S_△ABC=S_六边形
∴$\frac{\sqrt{3}}{36}$a²=$\frac{\sqrt{3}}{24}$b²，
解得：$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了正三角形及正六边形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，结合正多边形的性质解答．