Question

4．△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BD⊥AC于点D，AE平分∠BAC，交BD于点F，交BC于点E，G为AB中点，连接DG，交AE于点H，连接HB．
（1）求∠ACB；
（2）求证：△BDC≌△ADF；
（3）求证：HE=$\frac{1}{2}$AF．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可；
（2）根据角平分线的性质得到AE⊥BC，BE=CE，求得∠CAE+∠C=90°，由于∠CBD+∠C=90°，根据余角的性质得到∠CAE=∠CBD，根据已知条件得到∠DBA=∠DAB，根据等腰三角形的判定得到BD=AD，于是得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到BC=AF，根据线段垂直平分线的定义得到DG垂直平分AB，由线段垂直平分线的性质得到HA=HB，由角平分线的性质得到∠HAB=∠HBA=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，于是得到∠BHE=∠HAB+∠HBA=45°，证得∠BHE=∠HBE，根据等腰三角形的性质得到HE=BE=$\frac{1}{2}$BC，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°．

（2）∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∴∠CAE+∠C=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C=90°，
∴∠CAE=∠CBD，
∵BD⊥AC，D为垂足，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DBA=45°，
∴∠DBA=∠DAB，
∴DA=DB，
在△BDC和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠ADF}\\{BD=AD}\\{∠CAE=∠CBD}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△ADF （ASA），

（3）∵△BDC≌△ADF，
∴BC=AF，
∵DA=DB，点G为AB的中点，
∴DG垂直平分AB，
∵点H在DG上，
∴HA=HB，
∴∠HAB=∠HBA=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∴∠BHE=∠HAB+∠HBA=45°，
∴∠HBE=∠ABC-∠ABH=67.5°-22.5°=45°，
∴∠BHE=∠HBE，
∴HE=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AF=BC，
∴HE=$\frac{1}{2}$AF．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，证得△ADF≌△BDC是解题的关键．