Question

13．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．
（1）求证：AG=FG；
（2）求cos∠BGE的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得∠C=∠A=90°，DC=DA，根据翻折的性质可得DF=DC，∠DFE=∠C=90°，然后求出∠DFG=∠A=90°，DF=DA，再利用“HL”证明Rt△ADG和Rt△FDG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）先求出BE=EC=EF=6，设AG=x，表示出EG、BG，然后利用勾股定理列方程求出x的值，从而得到BG、EG，最后根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．

解答 （1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠C=∠A=90°，DC=DA，
∵△DCE沿DE对折得到△DFE，
∴DF=DC，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，DF=DA，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，$\left\{\begin{array}{l}{DG=DG}\\{DF=DA}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴AG=FG；

（2）解：∵正方形ABCD中，AB=12，BE=EC，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=x，则EG=6+x，
BG=12-x，
在Rt△BEG中，根据勾股定理得，EG²=BE²+BG²，
即（6+x）²=6²+（12-x）²，
解得x=4，
所以，BG=12-4=8，
EG=6+4=10，
所以，cos∠BGE=$\frac{BG}{GE}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，翻折前后对应边相等，对应角相等，此类题目，难点在于利用勾股定理列出方程从而求出相关线段的长度．