Question

8．如图，菱形ABCD中，∠D=135°，AD=6，CE=2$\sqrt{2}$，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．

解答 解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2$\sqrt{2}$，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，
∴Rt△BHC中，BH=CH=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴HG=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴Rt△BHG中，BG=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是2$\sqrt{5}$．
故选（C）

点评 本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．