Question

19．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=2，FD=4，则BC的长为（　　）

• A． 6$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{5}$
• D． 4$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=6，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．

解答 解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM，
在△ENG与△BNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENG=∠BNM}\\{∠EGN=∠A}\\{AE=GE}\end{array}\right.$，
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG=NM，
∴CM=DE，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=BM=CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF=BM：CM，
∴BN=NF，
∴NM=$\frac{1}{2}$CF=1，
∴NG=1，
∵BG=AB=CD=CF+DF=6，
∴BN=BG-NG=6-1=5，
∴BF=2BN=10，
∴BC=$\sqrt{B{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{6}$．
故选D．

点评 此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．