Question

如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC上的一点，且CD²=BC•CE，AD=6，AE=4．
（1）求证：△BCD∽△DCE；
（2）求证：△ADE∽△ACD；
（3）求CE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
（2）根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；
（3）根据两个三角形相似，对应边成比例，可得答案．

解答：（1）证明：CD是△ABC中∠ACB的角平分线，
∴∠BCD=∠DCE．
∵CD²=BC•CE，
∴

CD

BC

=

CE

CD

，
∴△BCD∽△DCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；

（2）证明：∵△BCD∽△DCE，
∴∠EDC=∠DBC（相似三角形的对应角相等）．
∵∠ADC=∠DBC+∠DCB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE=∠ACD．
∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；

（3）解：∵△ADE∽△ACD，
∴

AD

AC

=

AE

AD

，

6

AC

=

4

6

AC=9，
CE=AC-AE=9-4=5．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，两角对应相等的两个三角形相似．