Question

如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，过点E作EF⊥EC 交边AB于点F，交CB的延长线于点G，且EF=EC．
（1）求证：CD=AE；
（2）若DE=4cm，矩形ABCD的周长为 32cm，求CG的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）若要证明CD=AE，则可证明两条线段所在的三角形全等即可；
（2）由AD∥BC可证△AEF∽△BGF，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出BG的长，进而求出CG的长．

解答：（1）证明：在Rt△AEF和Rt△DEC中，
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°．
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD．        
又∠FAE=∠EDC=90°，EF=EC，
在Rt△AEF和Rt△DCE中，

∠FAE=∠EDC=90° ∠AEF=∠ECD EF=EC

，
∴Rt△AEF≌Rt△DCE（AAS）．
∴AE=CD． 

（2）∵AD=AE+4，
∵矩形ABCD的周长为32 cm，
∴2（AE+AE+4）=32．．
解得 AE=6．  
∴AF=4，BF=2．
由AD∥BC可证△AEF∽△BGF．
∴

AE

BG

=

AF

BF

=2．
∴BG=3．
∴CG=13．

点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等．