Question

已知A（2，1）、B（1，2），求等边△ABC的第三个顶点C的坐标．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,坐标与图形性质

专题：计算题

分析：设出C坐标，由三角形ABC为等边三角形得到AC=AB，利用两点间的距离公式表示出AC与AB，得出x与y的方程，由A与B的坐标求出中点D坐标，利用三线合一得到CD与AB垂直，即直线CD与直线AB斜率乘积为-1，由直线AB的斜率求出直线CD的斜率，根据C与D坐标表示出直线CD斜率，两者相等得到x与y的关系式，代入得出的方程计算求出x的值，进而确定出C坐标．

解答：解：设C（x，y），
∵△ABC为等边三角形，A（2，1）、B（1，2），
∴AC²=AB²，即AC²=（x-2）²+（y-1）²，
∵AB²=2，
∴（x-2）²+（y-1）²=2，
取AB中点D（

3

2

，

3

2

），可得k_CD•k_AB=-1，
∵K_CD=

y- 3 2

x- 3 2

，K_AB=

1-2

2-1

=-1，
∴K_CD=1，即x-

3

2

=y-

3

2

，
∴x=y，
把x=y代入（x-2）²+（y-1）²=2得：（x-2）²+（x-1）²=2，
解得：x=

3± 3

2

，
则C坐标为（

3+ 3

2

，

3+ 3

2

）或（

3- 3

2

，

3- 3

2

）．

点评：此题考查了等边三角形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．