Question

1．如图，AB=6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1=120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP=3或3$\sqrt{3}$或3$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 利用分类讨论，当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，易得∠PBA=30°，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论；情况二：利用锐角三角函数得AP的长；如图2，当∠BAP=90°时，如图3，利用锐角三角函数得AP的长．

解答 解：当∠APB=90°时，分两种情况讨论，
情况一：如图1，
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠1=120°，
∴∠AOP=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴∠OAP=60°，
∴∠PBA=30°，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=3；
情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=BO，
∵∠1=120°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴∠OBP=60°，
∴AP=AB•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$；
当∠BAP=90°时，如图3，
∵∠1=120°，
∴∠AOP=60°，
∴AP=OA•tan∠AOP=3×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
当∠ABP=90°时，如图4，

∵∠1=120°，
∴∠BOP=60°
∵OB=3，
∴PB=3$\sqrt{3}$，
∴PA=$\sqrt{P{B}^{2}+A{B}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
故答案为：3或3$\sqrt{3}$或3$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，利用分类讨论，数形结合是解答此题的关键．