Question

11．点P是边长8$\sqrt{3}$的正三角形ABC的内切圆的一个动点，求BP+$\frac{1}{2}$PC的最小值2$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 设O是△ABC内切圆的圆心，D是切点，连接CD交⊙O于F，CP交⊙O于G，E为CD的中点，连接BE，作EN⊥BC于．首先证明PB+$\frac{1}{2}$PC=PB+PE，当B，P，E共线时，PB+$\frac{1}{2}$PC=PB+PE=BE取最小值，

解答 解：设O是△ABC内切圆的圆心，D是切点，连接CD交⊙O于F，CP交⊙O于G，E为CD的中点，连接BE，作EN⊥BC于．
∵△ABC是等边三角形，
∴CD⊥AB，
∴D是⊙O与AB的切点，O为△ABC的重心，
∴OD=$\frac{1}{3}$CD，
∵CD=BC•cos30°=8$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=12，OD=OF=CF=4，
∴CO=8，CE=6，OG=4，
由切割线定理得，CG•CP=CF•CD=4×12=CO•CE，即$\frac{CG}{CO}=\frac{CE}{CP}$，
∴△ECP∽△GCO，
∴$\frac{PE}{PC}=\frac{OG}{OC}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∵B，E均为定点，
∴BP+$\frac{1}{2}$PC=BP+PE≤BE，
∴当B，P，E共线时，PB+$\frac{1}{2}$PC=PB+PE=BE取最小值，
在RT△ECN中，∵∠BCE=30°，EC=6，
∴EN=3，CN=3$\sqrt{3}$，BN=5$\sqrt{3}$
∴BE=$\sqrt{E{N}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（5\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
综上，BP+$\frac{1}{2}$PC的最小值是2$\sqrt{21}$．
故答案为2$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，切线的判定和性质，切割线定理，余弦定理，熟练掌握切割线定理，添加辅助线是解题的关键．