Question

20．以△ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，M为EG的中点，连接AM．
（1）如图1，∠BAC=90°，试判断AM与BC关系？
（2）如图2，∠BAC≠90°，图1中的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，给出证明．

Answer 1

分析 （1）结论：AM=$\frac{1}{2}$BC．易知AM=$\frac{1}{2}$EG，只要证明△BAC≌△EAG即可解决问题；
（2）结论仍然成立．延长AM到N，使得AM=MN，连接EN、NG．只要证明△BAC≌△AEN，即可解决问题．

解答 解：（1）结论：AM=$\frac{1}{2}$BC．

理由：∵∠BAC=∠EAG=90°，EM=GM，
∴AM=$\frac{1}{2}$EG，
在△BAC和△EAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAC=∠EAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△EAG，
∴BC=EG，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC．

（2）（1）中结论仍然成立．

理由：延长AM到N，使得AM=MN，连接EN、NG．
∴EM=MG，AM=MN，
∴四边形AENG是平行四边形，
∴EN=AG，EN∥AG，
∴∠NEA+∠EAG=180°，
∵∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAC+∠EAG=180°，
∴∠NEA=∠BAC，
∵AB=AE，AC=EN，
∴△BAC≌△AEN，
∴BC=AN，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC．

点评 本题考查正方形的性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质、平行时四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．