Question

10．图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内．
（1）求居民楼AB的高度；
（2）求C、A之间的距离．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在Rt△CPE中，由sin45°=$\frac{CE}{PC}$，得出EC的长度，进而可求出答案．
（2）在Rt△ABP中，利用tan60°=$\frac{AB}{BP}$，得出BP的长，进而得出PE的长，即可得出答案．

解答 解：（1）如图，过点C作CE⊥BP于点E，
在Rt△CPE中，∵PC=30m，∠CPE=45°，
∴sin45°=$\frac{CE}{PC}$，
∴CE=PC•sin45°=30×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=15$\sqrt{2}$m，
∵点C与点A在同一水平线上，
∴AB=CE=15$\sqrt{2}$m，
答：居民楼AB的高度为15$\sqrt{2}$m；

（2）在Rt△ABP中，∵∠APB=60°，
∴tan60°=$\frac{AB}{BP}$，
∴BP=$\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=5$\sqrt{6}$m，
∵PE=CE=15$\sqrt{2}$m，
∴AC=BE=15$\sqrt{2}$+5$\sqrt{6}$（m），
答：C、A之间的距离为（15$\sqrt{2}$+5$\sqrt{6}$）m．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题以及解直角三角形的应用-坡度坡角问题，要求学生借助仰角、坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数求解．