Question

9．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
（2）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞0，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把A点和C点坐标代入y=x²+bx+c中得到关于b、c的方程组，解方程组即可得到抛物线解析式为y=x²+x-2，然后把解析式配成顶点式即可得到对称轴；
（2）利用抛物线与x轴的交点问题确定B（-2，0），连结BC，易得直线BC的解析式为y=x-2，利用三角形面积公式，由△BDP和△CDP的面积相等得到C点和B点到DP的距离相等，则BC∥DP，于是可设DP的解析式为y=x+n，接着把D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）代入求得n=-$\frac{11}{4}$，所以DP的解析式为y=x-$\frac{11}{4}$，然后把P（t，0）代入易得t的值．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=x²-x-2，
因为y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
所以抛物线得对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$；
（2）如图，当y=0时，x²-x-2=0，解得x₁=-1，x₂=-2，则B（-2，0），
连结BC，易得直线BC的解析式为y=x-2，
∵△BDP和△CDP的面积相等，
∴BC∥DP，
设DP的解析式为y=x+n，
把D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）代入得$\frac{1}{2}$+n=-$\frac{9}{4}$，解得n=-$\frac{11}{4}$，
∴DP的解析式为y=x-$\frac{11}{4}$，
把P（t，0）代入得t-$\frac{11}{4}$=0，
∴t=$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：学会通过解方程ax²+bx+c=0得到二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标．（2）中解题的突破口是利用面积相等转化为直线平行．