Question

12．如图，在菱形OABC中，∠C=120°，OA=2，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交OA的延长线于点D，则图中阴影部分的面积为5π-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先过点B作BE⊥AD于点E，由在菱形OABC中，∠C=120°，OA=2，可求得BE与OB的长，∠BOD的度数，然后由S_阴影=S_扇形OBD-S_△BOC求得答案．

解答 解：过点B作BE⊥AD于点E，
∵在菱形OABC中，∠C=120°，OA=2，
∴∠AOC=180°-∠C=60°，∠OAB=∠C=120°，AB=OA=2，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，∠BAE=180°-∠BAO=60°，
∴BE=AB•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，∠BOD=180°-∠AOB=150°，
∴OB=2BE=2$\sqrt{3}$，
∴S_△OBC=S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•BE=$\sqrt{3}$，S_扇形OBD=$\frac{150×π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=5π，
∴S_阴影=S_扇形OBD-S_△BOC=5π-$\sqrt{3}$．
故答案为：5π-$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质．注意求得△OBC与扇形OBD的面积是关键．