Question

3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，FE交AC于M点．
（1）求证：AG=GH；
（2）求四边形GHME的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质可得△BCD≌△EFG，FG∥CD，EF∥CB，DG=EB=1，再根据直角三角形的性质可得AD=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8$=4，然后再根据等边对等角，以及平行线的性质可得AG=GH；
（2）过C作CN⊥AB于N，证明△BCD为等边三角形，利用勾股定理计算出CN，根据直角三角形的性质计算出MF，HM，再表示出△FHM和△FGE的面积，求差即可．

解答 （1）证明：将△BCD沿BA方向平移得到△EFG，
∴△BCD≌△EFG，FG∥CD，EF∥CB，DG=EB=1，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴AD=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8$=4，
∴∠DAC=∠ACD，
∵FG∥CD，
∴∠AFG=∠ACD，
∴∠AHG=∠DAC，
∴AG=GH；

（2）解：如图：过C作CN⊥AB于N，
∵∠ABC=60°，∠ACB=90°，
∴∠A=30°，
∵BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8$=4，
∵∠ABC=60°，CD=BD，
∴△BCD为等边三角形，
∴NB=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴CN=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵DG=1，AD=4，
∴GH=AG=3，
∴FH=1，
∵∠A=30°，
∴∠A=30°=∠AHG=∠FHM=30°，
∵FE∥CB，∠ACB=90°，
∴MF=$\frac{1}{2}$，
∴HM=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S_△EFG=S_△BCD=$\frac{1}{2}×$4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
S_△MFH=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∴S_{四边形GHME}=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$=$\frac{31\sqrt{3}}{8}$（cm²）．

点评 此题主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的面积，图形平移的性质，关键是掌握直角三角形的向关系性质．