Question

5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx²+4x+1．
（1）当抛物线C经过点A（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）若抛物线C：y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间（不包括-1和0），结合函数的图象，求m的取值范围；
（3）参考（2）小问思考问题的方法解决以下问题：
关于x的方程x-4=$\frac{a-3}{x}$在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A（-5，6）代入抛物线y=mx²+4x+1求出m的值，即可得出抛物线的表达式与顶点坐标；
（2）根据抛物线C：y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间可知当x=-1时，y＞0，且△≥0，求出m的取值范围即可；
（3）方程x-4=$\frac{a-3}{x}$在0＜x＜4范围内有两个解即抛物线y=x²-4x-a+3与x轴在0＜x＜4范围内有两个交点，从而可得当x=0时y＞0，x=4时y＞0，且△＞0，解之可得．

解答 解：（1）∵抛物线C：y=mx²+4x+1经过点A（-5，6），
∴6=25m-20+1，解得m=1，
∴抛物线的表达式为y=x²+4x+1=（x+2）²-3，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-3）；

（2）∵抛物线C：y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间，
∴当x=-1时，y＞0，且△≥0，即 $\left\{\begin{array}{l}{m-4+1＞0}\\{16-4m≥0}\end{array}\right.$，
解得：3＜m≤4；

（3）方程x-4=$\frac{a-3}{x}$的解即为方程x²-4x-a+3=0的解，
而方程x²-4x-a+3=0的解即抛物线y=x²-4x-a+3与x轴交点的横坐标，
∵方程在0＜x＜4范围内有两个解，
∴当x=0时y＞0，x=4时y＞0，且△＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{-a+3＞0}\\{16-4（-a+3）＞0}\end{array}\right.$，
解得：-1＜a＜3．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．