Question

7．如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD交AC于E，F为BC上一点，连接AF分别交BD、BE于H、G，且BH=BF，过C作CK∥AF交BD的延长线于K
（1）求证：CF=HK；
（2）若AB=BC=5，且AC=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠BHG=∠BFG，根据平行线的性质得到∠BHG=∠K，∠BFG=∠FCK，等量代换得到∠K=∠FCK，求得BK=BC，即可得到结论；
（2）过E作EM⊥BC于M，根据等腰三角形的性质得到CD=$\frac{1}{2}$AC=3，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{B{C}^{2}-D{C}^{2}}$=4，由角平分线的性质得到DE=EM，推出Rt△BDE≌Rt△BME，根据全等三角形的性质得到BM=BD=4，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵BH=BF，
∴∠BHG=∠BFG，
∵CK∥AF，
∴∠BHG=∠K，∠BFG=∠FCK，
∴∠K=∠FCK，
∴BK=BC，
∴BK-BH=BC-BF，
即HK=FC；

（2）解：过E作EM⊥BC于M，
∵AB=BC，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC=5，AC=6，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=3，BD=$\sqrt{B{C}^{2}-D{C}^{2}}$=4，
∵BE平分∠CBD交AC于E，BD⊥DC，EM⊥BC，
∴DE=EM，
在Rt△BDE与Rt△BME中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{DE=ME}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△BME，
∴BM=BD=4，
∴MC=BC-BM=1，
设DE=x，则EC=DC-DE=3-x，ME=x，
∴EC²=ME²+MC²，
即（3-x）²=x²+1，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴DE=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．