Question

19．A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．
（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．
（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来．

Answer 1

分析 （1）作AM∥BC，使得AM=30，连接BM与河岸的交点为K，在K处修一条桥KN即可．
（2）在RT△BMH中，利用勾股定理求出BM，最短路程就是BK+KN+AN=BK+KM+KN=MB+KN．

解答 解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．
（2）作MH⊥BC垂足为H．
两村A、B之间的最短路程=AN+KN+BK，
∵四边形AMKN是平行四边形，
∴AN=MK，
在RT△BMH中，∵BH=70，MH=40，
∴BM=$\sqrt{M{H}^{2}+B{H}^{2}}$=10$\sqrt{65}$，
∴AN+KN+BK=BM+KN=10$\sqrt{65}$+30，
∴两村的最短路程为（10$\sqrt{65}$+30）米．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．