Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆交AC于点D，连接OD并延长交BC的延长线于E点，连接AE．
（1）求证：∠BAC=∠DBC；
（2）求证：△EDC～△EBD；
（3）已知：EC•BE=4a²（a＞0），tan∠BCD=2，求圆的半径（用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）直接利用圆周角定理结合互余的性质得出：∠BAC=∠DBC；
（2）利用（1）中所求，结合相似三角形的判定方法得出答案；
（3）利用相似三角形的性质结合锐角三角函数关系得出相似比，进而求出答案．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠BAD=∠DBC；

（2）证明：∵OA=OD，
∴∠BAC=∠ODA，
∵∠BAC=∠DBC，
∴∠ODA=∠DBC，
又∵∠AOD=∠CDE，
∴∠CDE=∠DBE，
又∵∠DEC=∠BED，
∴△EDC～△EBD；

（3）解：∵△EDC～△EBD，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{BE}{DE}$，
∴DE²=EC•BE，
∵EC•BE=4a²（a＞0），
∴DE=2a，
∵tan∠BCD=$\frac{BD}{DC}$=2，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{BD}{DC}$=2，
∴DE=4a，EC=a，
∴BC=3a，
又∵tan∠BCD=$\frac{AB}{BC}$=2，
∴AB=6a，
则圆的半径为3a．

点评 此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质等知识，正确得出△EDC和△EBD的相似比是解题关键．