Question

18．如图所示，在矩形OADC中，以点O为原点，以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，且抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A，与y轴交于点C，且D点的坐标为（6，8）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在CD上方的抛物线上有一点P，连接PC，PA，求出△PCA面积的最大值；
（3）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O，A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，点M的横坐标为m，交抛物线于点P，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，若不存在，也请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出A、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）设P（m，-m²+$\frac{14}{3}$m+8），连接OP．则有S_△PAC=S_△PCO+S_△POA-S_△AOC=$\frac{1}{2}$×8×m+$\frac{1}{2}$×6×（-m²+$\frac{14}{3}$m+8）-$\frac{1}{2}$×6×8=-3（m-3）²+27，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）分两种情形讨论①当PC⊥AC时，△PCE与△AEM相似．②当直线PC与直线AC关于CD对称时，△PCE与△AEM相似．分别求出直线PC的解析式，利用方程组求出交点P坐标；

解答 解：（1）由题意A（6，0），C（0，8），
把A（6，0），C（0，8）代入抛物线的解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{-36+6b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{14}{3}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+$\frac{14}{3}$x+8．

（2）设P（m，-m²+$\frac{14}{3}$m+8），连接OP．
则有S_△PAC=S_△PCO+S_△POA-S_△AOC
=$\frac{1}{2}$×8×m+$\frac{1}{2}$×6×（-m²+$\frac{14}{3}$m+8）-$\frac{1}{2}$×6×8
=-3（m-3）²+27，
∵-3＜0，
∴m=3时，△PAC的面积最大，最大值为27．

（3）①当PC⊥AC时，△PCE与△AEM相似．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8，
∵PC⊥AC，
∴直线PC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+8}\\{y=-{x}^{2}+\frac{14}{3}x+8}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{47}{12}}\\{y=\frac{525}{48}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{47}{12}$，$\frac{525}{48}$）．

②当直线PC与直线AC关于CD对称时，△PCE与△AEM相似．
∵点A关于直线CD的对称点A′（6，16），
∴直线PC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+8}\\{y=-{x}^{2}+\frac{14}{3}x+8}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{3}}\\{y=\frac{112}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{10}{3}$，$\frac{112}{9}$）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（$\frac{47}{12}$，$\frac{525}{48}$）或（$\frac{10}{3}$，$\frac{112}{9}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思考思考问题，属于中考压轴题．