Question

5．如图是“赵爽弦图”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD=c，AE=a，DE=b，取c=10，a-b=2．
（1）正方形EFGH的面积为4，四个直角三角形的面积和为96；
（2）求（a+b）²的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知HE=a-b=2，可求得正方形EFGH的面积，利用四个直角三角形的面积和=正方形ABCD的面积-正方形EFGH的面积，可求得答案；
（2）利用勾股定理可求得a²+b²的值，利用四个直角三角形的面积可求得2ab，则可求得答案．

解答 解：
（1）∵HE=a-b=2，
∴S_{正方形EFGH}=HE²=4，
∵AD=c=10，
∴S_{正方形ABCD}=AD²=100，
∴四个直角三角形的面积和=S_{正方形ABCD}-S_{正方形EFGH}=100-4=96，
故答案为：4；96；

（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，
∴4×$\frac{1}{2}$ab=96，解得2ab=96，
∵a²+b²=c²=100，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=100+96=196．

点评 本题主要考查勾股定理的证明及应用，理解图形中四个三角形的面积和等于大正方形的面积与小正方形面积的差是解题的关键．