Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、F是对角线上的两点，且AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：四边形GEHF是平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：如图，连接GH交BD于点O．通过证明四边形GEHF的对角线互相平分来推知四边形GEHF是平行四边形．

解答：证明：如图，连接GH交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AB∥CD．
∵G、H分别是AD、BC的中点，
∴GH∥AB∥CD，
∴GO=

1

2

AB，HO=

1

2

CD，
∴GO=HO．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
由∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
∴在△ABE与△CDF中，

∠AEB=∠CFD ∠1=∠2 AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
∴四边形GEHF是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．