Question

如图，已知⊙O₁、⊙O₂外切于点P，AB是一条外公切线，A、B为切点．
（1）连接AP、BP，证明：AP⊥BP；
（2）连接BO₂并延长交⊙O₂于点D，过D引⊙O₁的切线，切点为C，证明：CD=BD．
（3）设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为1和3，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,扇形面积的计算

专题：几何综合题,数形结合

分析：（1）连接PD，AO₁，O₁O₂，过P作两圆的切线，交AB于M，根据切线性质和等腰三角形性质得出∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，即可求出答案；
（2）求出CD²=CP•CA，证△DBP∽△DAB，推出CB²=CP•CA，即可得出答案；
（3）过点O₁作AN∥O₁O₂交O₂B于点N，求出四边形AO₁O₂N是平行四边形，推出NA=O₁O₂=1+3=4，AO₁=NO₂=1，求出BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理求出AB，根据扇形和梯形的面积公式求出即可．

解答：证明：（1）连接PD，AO₁，O₁O₂，过P作两圆的切线，交AB于M，
∵BD是圆O₂的直径，
∴∠BPD=90°，
又∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，
∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，
∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°；

（2）∵∠APD=180°．
∴A，P，D三点共线
∵CD切圆O₁于点D，∴CD²=CP•CA，
在△ABC中，∠CAB=90°，又∵BP⊥AD，
∴∠DPB=∠DBA=90°，∠BDP=∠BDA，
∴△DBP∽△DAB，
∴CB²=CP•CA，
故CD=CB；

（3）解：过点O₁作AN∥O₁O₂交O₂B于点N，
∵⊙O₁与⊙O₂外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，⊙O₁的半径为1，⊙O₂的半径为3，
∴四边形AO₁O₂N是平行四边形，
∴NA=O₁O₂=1+3=4，AO₁=NO₂=1，
∴BN=3-1=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=

AN2-BN2

=2

3

，
∴sin∠ANB=

AB

AN

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠ANB=60°，
∴∠BO₂P=60°，
∴∠AO₁P=180°-60°=120°，
∴S_阴影=S 梯形O1ABO2-S 扇形AO1P-S 扇形BO2P=

1

2

×（1+3）×2

3

-

120π•12

360

-

60π•32

360

=4

3

-

11

6

π．

点评：此题考查了相切两圆的性质、梯形的性质、勾股定理以及三角函数的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．