题目内容
15．如图1，已知直线y=x-2与x轴、y轴交于点B、A，过A、B两点分別作y轴、x轴的垂线交于点F，点C为BF的中点，双曲线y=$\frac{m}{x}$ （x＞0），经过点C．（1）如图1，写出F点的坐标，并求出双曲线的解折式．
（2）如图1，过F点作直线，是否存在这样的直线，它与双曲线两个交点的距离为2；
（3）如图2，过F点作直线，交双曲线于D，E，分别过D、E作直线y=x-2的垂线，垂足分別为M，N，直线OF交直线M，N 于Q点，求证：直线DN平分线段QF．
（参考公式：①在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点之间的距离为丨AB丨=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{{y}_{1}}^{2}）}$；②如果实数x＞0，y＞0，那么x+y≥2$\sqrt{xy}$，当且仅当x=y时取等号）
分析 （1）根据直线y=x-2与x轴、y轴交于点B、A，可求出点A、B的坐标，由此即可得出点F的坐标，再由点C为BF的中点，求出点C的坐标，结合点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出双曲线的解析式；
（2）假设存在，设出该直线的解析式为y=kx+b（k＞0），由点F在该直线上可用k表示出b值，将直线解析式代入双曲线解析式中找出关于x的一元二次方程，设两交点为P1（x1，y1）、P2（x2，y2），根据根与系数的关系可找出x1+x2=$\frac{2（k+1）}{k}$，x1•x2=$\frac{2}{k}$，由此即可套用两点间的距离公式求出P1 P2，令其等于2，可得出关于k的一元二次方程，再由根的判别式得出该方程无解，从而得出假设不成了，由此即可得出结论；
（3）过E作EG∥x轴交直线y=x-2于G，设E点坐标为（x，y），G点坐标为（x0，y），由两点间的距离公式求出线段EF、EG，从而得出△EGN为等腰直角三角形，再根据平行线的性质找出各线段间的比例关系，从而得出FK=QK，此题得解．
解答 解：（1）∵直线y=x-2与x轴、y轴交于点B、A，
∴点B（2，0），点A（0，-2），
∵过A、B两点分別作y轴、x轴的垂线交于点F，
∴点F（2，-2）．
∵点C为BF的中点，
∴点C（2，-1），
∵双曲线y=$\frac{m}{x}$ （x＞0）经过点C，
∴m=2×（-1）=-2，
∴双曲线的解折式为y=-$\frac{2}{x}$．
（2）假设存在，直线l：y=kx+b（k＞0），
∵点F（2，-2）在直线l上，
∴-2=2k+b，b=-2k-2，
∴y=kx-2k-2．
将y=kx-2k-2代入y=-$\frac{2}{x}$中，得：kx-2k-2=-$\frac{2}{x}$，
整理得：kx2-2（k+1）x+2=0，
设两交点为P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则由根与系数的关系得：
x1+x2=$\frac{2（k+1）}{k}$，x1•x2=$\frac{2}{k}$，
∴P1 P2=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{4（k+1）^{2}}{{k}^{2}}-\frac{8}{k}]}$=$\sqrt{\frac{4（1+{k}^{2}）^{2}}{{k}^{2}}}$=$\frac{2（1+{k}^{2}）}{|k|}$，
∵P1 P2=2，k＞0，则$\frac{2（1+{k}^{2}）}{|k|}$=2，
即k2-k+1=0，
∵△=-3＜0，
∴此方程无实根，即假设不成立．
故不存在直线l与双曲线两交点的距离是2．
（3）证明：过E作EG∥x轴交直线y=x-2于G，则△EGN为等腰直角三角形，如图所示．
设E点坐标为（x，y），G点坐标为（x0，y），
∵G（x0，y）在直线直线y=x-2上，
∴y=x0-2，
又∵点E（x，y）在双曲线C：y=-$\frac{2}{x}$（x＞0）上，
∴-$\frac{2}{x}$=x0-2，即：x0=-$\frac{2}{x}$+2，
所以EG=x-x0=x+$\frac{2}{x}$-2，
又∵EF=$\sqrt{（x-2）^{2}+（y+2）^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（-\frac{2}{x}+2）^{2}}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}）^{2}-4（x+\frac{2}{x}）+4}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}-2）^{2}}$=|x+$\frac{2}{x}$-2|，
∵x+y≥2$\sqrt{xy}$（x＞0，y＞0），
∴x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$（x＞0，当且仅当x=$\frac{2}{x}$时，不等式取等号），
∴EF=|x+$\frac{2}{x}$-2|=x+$\frac{2}{x}$-2，即EG=EF，
∴△EGN为等腰直角三角形，
∴ED=$\sqrt{2}$EN，
同理可得：DF=$\sqrt{2}$DM．
设EN=a，DM=b，
∴EF=$\sqrt{2}$a，DF=$\sqrt{2}$b．
∵EN⊥AB，OF⊥AB，
∴FQ∥EN，
∴$\frac{FK}{EN}=\frac{DF}{DE}$．
∴FK=$\frac{DF•EN}{DE}$=$\frac{\sqrt{2}ab}{\sqrt{2}a+\sqrt{2}b}$=$\frac{ab}{a+b}$．
同理可得：FK∥DM，
∴$\frac{QK}{DM}=\frac{NQ}{NM}=\frac{EF}{DE}$，
∴QK=$\frac{EF•DM}{DE}$=$\frac{\sqrt{2}ab}{\sqrt{2}a+\sqrt{2}b}$=$\frac{ab}{a+b}$．
∴FK=QK，
∴直线DN平分线段QF．
点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、根的判别式、根与系数的关系、平行线的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数的解析式；（2）由关于k的一元二次方程无解得出不存在；（3）通过比例关系找出FK=QK．本题属于中档题，难度不大，本题中给定了两个参考公式，为我们解题带来了方便．
平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是第一象限内一点，A（m，n）满足$\left\{{\begin{array}{l}2m-n=10\\ m-2n=-4\end{array}}\right.$过点A分别作x轴和y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C．M是线段AB的中点，点P从M点出发沿线段MA-AC向终点C运动，速度为每秒2个单位长度．设点P运动的时间为t（秒）．| A． | x≠6 | B． | x≠-6 | C． | x≥-6 | D． | x＞-6 |