Question

3．平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是第一象限内一点，A（m，n）满足$\left\{{\begin{array}{l}2m-n=10\\ m-2n=-4\end{array}}\right.$过点A分别作x轴和y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C．M是线段AB的中点，点P从M点出发沿线段MA-AC向终点C运动，速度为每秒2个单位长度．设点P运动的时间为t（秒）．
（1）求出A点坐标．
（2）用含有t的代数式表示线段AP的长度．
（3）作线段OP、PM、OM，当三角形MOP的面积等于直角梯形AMOC的面积的$\frac{1}{2}$时，求t的值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）解方程组求出方程组的解，即可得出答案；
（2）分为两种情况：当P在AM上时，当P在AC上时，求出AP即可；
（3）分为两种情况：当P在AM上时，当P在AC上时，分别求出△MOP和四边形AMOC的面积，即可得出关于t的方程，求出t，即可得出答案．

解答 解：（1）解方程组$\left\{{\begin{array}{l}2m-n=10\\ m-2n=-4\end{array}}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{m=8}\\{n=6}\end{array}\right.$，
即A的坐标为（8，6）；

（2）∵根据题意知：四边形OBAC是矩形，A（8，6），M为AB的中点，
∴OB=AC=6，AB=OC=8，AM=BM=4，
当P在MA上时，AP=4-2t；
当P在AC上时，AP=2t-4；

（3）
当P在AM上时，如图1，
∵当三角形MOP的面积等于直角梯形AMOC的面积的$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•2t•6=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（4+8）×6，
解得：t=3，当t=3时，MP=6＞AM，此时不符合P在AM上，舍去；
当P在AC上时，如图2，

∵S_△OMP=S_{四边形AMOC}-S_△AMP-S_△OPC=$\frac{1}{2}$×（4+8）×6-$\frac{1}{2}$×4×（2t-4）-$\frac{1}{2}$×（4+6-2t）×8=4+4t，
S_{四边形AMOC}=$\frac{1}{2}×$（4+8）×6=36，
∴4+4t=$\frac{1}{2}$×36，
解得：t=$\frac{7}{2}$，
AP=2t-4=3，CP=6-3=3，
P点的坐标为（8，3）．

点评 本题考查了坐标与图形性质，解二元一次方程组，矩形的性质，三角形的面积等知识点的应用，能进行分类讨论是解此题的关键．