题目内容
20．如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使得点H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG．阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：
（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积．
分析 （1）如图2，先画长方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；
（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面积为36，求出AM=6．再设AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式$\frac{GF}{BC}$=$\frac{AN}{AM}$，由此求出x的值，进而求解即可．
解答 解：（1）如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；
（2）在长方形DEFG中，如果DE=2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N．
∵三角形ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$×12AM=36，
∴AM=6．
设AN=x，则MN=6-x，DG=MN=6-x，DE=GF=2（6-x）=12-2x．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{GF}{BC}$=$\frac{AN}{AM}$，
∴$\frac{12-2x}{12}$=$\frac{x}{6}$，
解得x=3，
∴DG=6-x=3，DE=2DG=6，
∴长方形DEFG的面积=6×3=18；
在长方形DEFG中，如果DG=2DE，同理求出x=$\frac{6}{5}$，
∴DG=6-x=$\frac{24}{5}$，DE=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{12}{5}$，
∴长方形DEFG的面积=$\frac{24}{5}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{288}{25}$．
故长方形DEFG的面积为18或$\frac{288}{25}$．
点评 本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据题意作出符合要求的长方形DEFG是解题的关键．
名校课堂系列答案
在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=12cm，则CD=6cm．
如图，已知线段AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，E，F分别为DO，BO上两点，DE=BF，CE=9，求AF的长．
如图是一张直角三角形纸片，∠C=90°，点D在边AB上，若将三角形纸片沿直线DE折叠，使点B落在AC边上，记作点B′，连接B′E．
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的三个直角三角形（△ABC、△ACD、△BCD）的内切圆半径的和等于（ ）| A． | CD | B． | BC | C． | AC | D． | AB |
如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，求外接圆的半径．