Question

19．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交AC，AB于点D，E，CE，BD相交于点F，以下四个结论：①cos∠BFE=$\frac{1}{2}$；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号是①③．

Answer 1

分析 ①在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，即∠FBC+∠FCB=60°，而∠BFE正好是△BFC的外角，即∠BFE=∠FBC+∠FCB=60°，故正确；
②若BC=BD，需满足一个条件：∠BCD=∠BDC，且看这两个角的表达式：∠BCD=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA；∠BDC=∠BDA+∠A=60°+∠DBA；联立两式，可得∠DBA=20°；此时∠ABC=40°，而没有任何条件可以说明∠ABC的度数是40°，即可得出本选项错误．
③由于F是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，因此F是△ABC的内心，可过F作AB、AC的垂线，通过证构建的直角三角形全等，得出FE=FD的结论，因此结论正确；
④若BF=2DF，则F是△ABC的重心，即三边中线的交点，而题目给出的条件是F是△ABC的内心，显然两者的结论相矛盾，因此不正确．

解答 解：∵BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴点F是△ABC的内心，∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BFE=∠CBD+∠BCE
=$\frac{1}{2}$（∠CBA+∠BCA）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=60°，即cos∠BFE=$\frac{1}{2}$，故①正确；
∵∠BDC=∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=60°+∠DBA，∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA，
∴若BC=BD成立，则应有∠BDC=∠BCA，60°+∠DBA=120°-2∠DBA，即∠DBA=20°，
此时∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根据题意，没有条件可以说明∠ABC是40°，
故②错误；
∵点F是△ABC内心，作FW⊥AC，FS⊥AB
则FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△FDW，
∴FD=FE，故③正确；
由于点F是内心而不是各边中线的交点，故BF=2DF不一定成立，因此④错误．
因此本题正确的结论为①③，
故答案为：①③．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心、角平分线的性质、三角形内角和定理，综合性强，难度较大．要特别注意的是④中，三角形外心和重心的区别，不要混淆两者的概念．