Question

8．如图，直线y=x+4和抛物线y=ax²+bx+12（a≠0）相交于A（1，5）和B（8，n），点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的点P，使△ABC的面积有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当以线段PC为直径的圆经过点A时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据圆的直径与半径之间的关系，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）∵点B（8，n）在直线y=x+4上，
∴n=8+4=12．
∵A（1，5），B（8，12）在抛物线y=ax²+bx+12（a≠0）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=a+b+12}\\{12=64a+8b+12}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
故抛物线y=x²-8x+12；（
2）设动点P的坐标为（m，m+4），则点C的坐标为（m，m²-8m+12），
∴BC=（m+4）-（m²-8m+12）=-m²+9m-8；
S_△ABC=$\frac{1}{2}$（8-1）（-m²+9m-8）=-$\frac{7}{2}$（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{343}{8}$，
当m=$\frac{9}{2}$时，△ABC的面积最大值，最大值为$\frac{343}{8}$．
（3）∵以线段PC为直径的圆经过点A，
∴∠PAC=90°，
∴点A到PC的距离为$\frac{1}{2}$PC，
∴m-1=$\frac{1}{2}$（-m²+9m-8），
∴m=6，m=1（不符合题意，舍），
∴点P（6，10）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用三角形的面积得出二次函数的性质是解题关键；利用圆的直径与半径之间的关系得出关于m的方程是解题关键．