Question

7．已知：直线y=-x-4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y=ax²+bx（a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为-2
（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；
（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；
（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连结AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求出点A、C的坐标，然后结合点A的坐标及顶点B的纵坐标为-2可得到关于a、b的方程组，然后解这个方程组，就可得到抛物线的函数关系式，从而得到点B的坐标，然后把点B的坐标代入直线AC的解析式，就可解决问题；
（2）连接DA，如图1，要证直线AC与⊙D相切，只需证∠DAC=90°；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，如图2①、图2②，易得∠ADO=90°，根据圆周角定理可得∠AEO，从而求出∠POA，从而可得到直线OP的解析式，然后解直线OP与抛物线的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标．

解答 解：（1）∵点A、C分别是直线y=-x-4与x、y轴的交点，
∴点A（-4，0），点C（0，-4），
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b=0}\\{\frac{0-{b}^{2}}{4a}=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数关系式为y=$\frac{1}{2}$x²+2x．
由y=$\frac{1}{2}$x²+2x=$\frac{1}{2}$（x+2）²-2得顶点B（-2，-2）．
当x=-2时，y=-x-4=-2，
∴点B在直线y=-x-4上；

（2）直线AC与⊙D相切．
理由：连接DA，如图1．
∵A（-4，0），C（0，-4），
∴OA=OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°．
∵点B在直线AC上，
∴∠BAO=45°．
∵点B与点D关于x轴对称，
∴∠DAO=∠BAO=45°，
∴∠DAB=90°，
∵抛物线y=ax²+bx（a＞0）经过A、O两点，顶点是B，点B与点D关于x轴对称，OD为半径，
∴直线AC与⊙D相切；

（3）过点P作PH⊥x轴于H，如图2①、图2②，
∵DA=DO，
∴∠DOA=∠DAO=45°，
∴∠ADO=90°．
∵E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），
∴∠AEO=$\frac{1}{2}$∠ADO=45°．
∵∠POA：∠AEO=2：3，
∴∠POA=$\frac{2}{3}$∠AEO=$\frac{2}{3}$×45°=30°．
∴直线OP的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
①当直线OP的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x时，如图2①，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}-4}\\{y=\frac{2}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-4，$\frac{2}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
②当直线OP的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x时，如图2②，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3}}{3}-4}\\{y=\frac{2}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}-4$，$\frac{2}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
综上所述：点P的坐标为（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-4，$\frac{2}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}-4$，$\frac{2}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线解析式、等腰三角形的性质、轴对称的性质、直线与抛物线的交点等知识，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．