Question

9．如图所示，点E是矩形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，DE=DF．求证：矩形ABCD是正方形．

Answer 1

分析 根据矩形的性质可得∠A=∠DCB=∠ADC=90°，再利用余角的性质证明∠1=∠2，然后可证明△AED≌△CFD，根据全等三角形的性质可得AD=CD，然后根据邻边相等的矩形是正方形可得矩形ABCD是正方形．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠DCB=∠ADC=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠DCF=90°，
∵DF⊥DE，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{∠1=∠2}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AD=CD，
∴矩形ABCD是正方形．

点评 此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．