Question

4．在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4）．延长CB交x轴于点A₁，作第二个正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作第三个正方形A₂B₂C₂C₁，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为（　　）

• A． 20×（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³⁰
• B． 20×（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³²
• C． 20×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁶
• D． 20×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵

Answer 1

分析 先求出正方形ABCD的边长和面积，再求出第一个正方形A₁B₁C₁C的面积，得出规律，根据规律即可求出第2016个正方形的面积．

解答 解：∵点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），
∴OA=2，OD=4
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S_{正方形ABCD}=$（2\sqrt{5}）^{2}$=20，
∴∠ABA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}=\frac{AB}{OD}$，即$\frac{B{A}_{1}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{4}$，
∴BA₁=$\sqrt{5}$，
∴CA₁=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴正方形A₁B₁C₁C的面积=$（\frac{3}{2}×\sqrt{20}）^{2}$=20×$（\frac{3}{2}）^{2}$…，第n个正方形的面积为$20×（\frac{3}{2}）^{2n-2}$，
∴第2016个正方形的面积$20×（\frac{3}{2}）^{4030}$．
故选A．

点评 本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD和正方形A₁B₁C₁C的面积得出规律是解决问题的关键．