Question

10．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　）

• A． $\frac{8}{5}$
• B． 2
• C． $\frac{12}{5}$
• D． $\frac{14}{5}$

Answer 1

分析 根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．

解答 解：过O作OG垂于G，连接OC，
∵OC=$\frac{3}{2}$，只有C、O、G三点在一条直线上OE最小，
连接OM，
∴OM=$\frac{3}{2}$，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∴CF=$\frac{12}{5}$，
∴OG=$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{10}$，
∴MG=$\sqrt{O{M}^{2}-O{G}^{2}}$=$\frac{6}{5}$，
∴MN=2MG=$\frac{12}{5}$，
故选C．

点评 本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OG垂于E，得出C、O、G三点在一条直线上OE最小是解题的关键．