Question

20．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的直角顶点A在第四象限，顶点B（0，-2），点C（0，1），点D在边AB上，连接CD交OA于点E，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点D，若△ADE和△OCE的面积相等，则k的值为-$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 先过点D作DF⊥OB于F，构造等腰直角三角形BDF，再根据△ADE和△OCE的面积相等，得出△BCD和△AOB的面积相等，最后根据△BCD的面积求得点D的坐标，即可得出k的值．

解答 解：如图，过点D作DF⊥OB于F，
∵等腰直角三角形AOB的顶点B（0，-2），点C（0，1），
∴OB=2，AO=AB=$\sqrt{2}$，BC=3，DF=BF，
∴△AOB的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1，
又∵△ADE和△OCE的面积相等，
∴△BCD和△AOB的面积相等，
∴△BCD的面积为1，
即$\frac{1}{2}$×BC×DF=1，
∴$\frac{1}{2}$×3×DF=1，
解得DF=$\frac{2}{3}$
∴BF=$\frac{2}{3}$，
∴OF=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴D（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点D，
∴k=$\frac{2}{3}$×（-$\frac{4}{3}$）=-$\frac{8}{9}$．
故答案为：-$\frac{8}{9}$

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是运用数形结合思想，将点D的坐标与比例系数k联系起来．