Question

17．在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD∥BC，AB=8cm，AD=20cm，BC=22cm，点P、Q分别从A、C同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C出发向B运动．
（1）几秒后，四边形CDPQ为平行四边形？
（2）几秒后，PQ=CD？

Answer 1

分析 （1）由当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程20-2t=3t，解此方程即可求得答案；
（2）首先过D作DE⊥BC于E，可求得EC的长，又由当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（20-2t）=4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．再一种情况是四边形PQCD为平行四边形，PQ=CD．

解答 解：根据题意得：PA=2t，CQ=3t，则PD=AD-PA=20-2t．
（1）∵AD∥BC，
即PD∥CQ，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即20-2t=3t，
解得：t=4，
即当t=4时，四边形PQCD为平行四边形；

（2）由（1）得：t=4时，PQ=CD，
②过D作DE⊥BC于E，
则四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=20cm，
∴EC=BC-BE=2cm，
当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，如图所示：
过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
则四边形PDEF是矩形，
∴EF=PD，PF=DE，
在Rt△PQF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=DE}\\{PQ=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，
即3t-（20-2t）=4，
解得：t=$\frac{24}{5}$，
即当t=$\frac{24}{5}$时，四边形PQCD为等腰梯形，PQ=DC．
综上：当t=4或$\frac{24}{5}$时，PQ=DC．

点评 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．