Question

12．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在AC、BC边上分别截取CD=CE，连结DE．将△DCE绕着点C顺时针旋转θ角，连结BE、AD．
（1）当0°＜θ＜90°时，如图②，直线BE交直线AD于点F．
①求证：△ACD≌△BCE．
②求证：AF⊥BE．
（2）当0°＜θ＜360°，AC=5，CD=3，四边形CDFE是正方形时，直接写出AF的长度．

Answer 1

分析 （1）①根据旋转的性质和已知，运用SAS证明即可；②由问题原型中的结论：△ACE≌△BCE得出∠BFO=∠ACB，结合等量代换进行求解即可；
（2）运用CD∥BE结合初步探究中的结论，可证CD⊥AF，结合勾股定理即可求解．

解答 解：（1）①如图②，

∵△DCE绕着点C顺时针旋转θ角，由旋转的性质可知，
∴∠ACD=∠BCE=θ，
又∵AC=BC，CD=CE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE；
②如图②，设AF与BC交点于O，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，
∵∠AOC=∠BOF，
∴∠BFO=∠ACB=90°，
∴AF⊥BE；
（2）如图③，

∵AC=5，CD=3，四边形CDFE是正方形时，
∵AD⊥CD，
∴AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4$，
∴AF=4+3=7，
如图4，

∴AF=4-3=1．

点评 此题主要考查几何变换中的旋转，熟悉旋转的性质，会证明三角形全等，并应用全等三角形的性质解决角的问题，会运用勾股定理求线段长度是解题的关键．