Question

19．一块边缘呈抛物线型的铁片如图放置，测得AB=20cm，抛物线顶点到AB边的距离为25cm，现要沿AB边向上依次截取宽度为4cm的矩形铁皮，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求第四块矩形铁皮的长与宽的比为多少？
（3）截得的铁皮可能是正方形吗？为什么．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标为（0，25），可设其顶点式，将A点或B点坐标代入即可得；
（2）根据抛物线解析式求出第4块矩形铁皮的长，可得长、宽之比；
（3）若截得的铁皮是正方形，则铁皮的长2|x|=4，将x=2或x=-2代入解析式求出矩形总的高度y，判断是否为4的整数倍即可．

解答 解：（1）根据题意知，A（-10，0），顶点坐标为（0，25），
可设抛物线解析式为：y=ax²+25，
将A（-10，0）代入，得：100a+25=0，解得：a=-$\frac{1}{4}$，
故抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{4}$x²+25；
（2）当y=4×4=16时，有-$\frac{1}{4}$x²+25=16，解得：x=±6，
则第四块矩形铁皮的长为2×6=12cm，
故第四块矩形铁皮的长与宽的比为12：4=3；
（3）若截得的铁皮是正方形，则铁皮的长2|x|=4，即x=±2，
当x=2时，y=-$\frac{1}{4}$×2²+25=24=4×6，
故截得的第6个铁皮是正方形．

点评 本题主要考查二次函数的应用能力，求出抛物线解析式是基础，根据题意将矩形的长、宽转化成函数中的x与y并作出清晰判断是关键．