Question

14．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：CE平分∠BCD；
（2）求证：AD+BC=CD；
（3）若AB=12，CD=13，求S_△CDE．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥CD垂足为M，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明．
（2）只要证明△DEA≌△DEM得AD=DM，同理可证CB=CM．
（3）根据S_△EDC=$\frac{1}{2}$•DC•EM即可计算．

解答 （1）证明：作EM⊥CD垂足为M，
∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，
∴AE=EM，
∵AE=EB，
∴EM=EB，
∵EB⊥BC，EM⊥CD，
∴EC平分∠BCD．
（2）证明：由（1）可知：AE=EM=EB，
在RT△DEA和RT△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{AE=EM}\end{array}\right.$，
∴△DEA≌△DEM，
∴DA=DM，同理可证：CB=CM
∴CD=DM+MC=AD+BC．
（3）解：由（1）可知：EM=AE=EB=$\frac{1}{2}$AB=6，
∵EM⊥CD，CD=13，
∴S_△EDC=$\frac{1}{2}$•DC•EM=$\frac{1}{2}$×13×6=39．

点评 本题考查等腰梯形的性质、角平分线的判定和性质以及三角形面积公式，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键．