Question

1．若x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\frac{1}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$=10，求x²+$\sqrt{{x}^{4}-1}$+$\frac{1}{{x}^{2}+\sqrt{{x}^{4}-1}}$的值．

Answer 1

分析 根据x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\frac{1}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$=10，化简可以求得x的值，再将所求的式子化简，将x的值代入即可解答本题．

解答 解：∵x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\frac{1}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$=10，
∴$x+\sqrt{{x}^{2}-1}+\frac{x+\sqrt{{x}^{2}-1}}{（x-\sqrt{{x}^{2}-1}）（x+\sqrt{{x}^{2}-1}）}$=10
化简，得$x+\sqrt{{x}^{2}-1}=5$，
解得，x=2.6
∴x²+$\sqrt{{x}^{4}-1}$+$\frac{1}{{x}^{2}+\sqrt{{x}^{4}-1}}$
=${x}^{2}+\sqrt{{x}^{4}-1}+\frac{{x}^{2}-\sqrt{{x}^{4}-1}}{（{x}^{2}+\sqrt{{x}^{4}-1}）（{x}^{2}-\sqrt{{x}^{4}-1}）}$
=${x}^{2}+\sqrt{{x}^{4}-1}+{x}^{2}-\sqrt{{x}^{4}-1}$
=2x²
=2×2.6²
=2×6.76
=13.52．
即x²+$\sqrt{{x}^{4}-1}$+$\frac{1}{{x}^{2}+\sqrt{{x}^{4}-1}}$的值是13.52．

点评 本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是对题目中的式子和所求的式子进行分母有理化，然后进行化简求值．