Question

17．如图，B点的坐标为（10，0），点A是OB上的一个动点，且OA＜AB，分别以OA、AB为边在x轴上方作等边△OAC和等边△ABD，连接CD，E为CD的中点，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点E，若AE=$\frac{\sqrt{79}}{2}$时，则k=10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作EH⊥OB于H点，则EH为梯形CMND的中位线，根据梯形中位线的性质得EH、HM的长度，从而求得AH=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t或$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$；再在直角△AEH中，利用勾股定理得AE²=AH²+EH²，即（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{5-t}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{79}}{2}$）²，通过解该方程求得t的值，则易确定E点坐标，再代入反比例函数解析式可得到k的值．

解答 解：作EH⊥OB于H点，如图，
设点A的坐标为（t，0）．
∵E为CD的中点，
∴EH为梯形CMND的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$（CM+DN）=$\frac{1}{2}$[$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t）]=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，HM=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$（ON-OM）=$\frac{1}{2}$[t+$\frac{1}{2}$（10-t）-$\frac{1}{2}$t]=$\frac{5}{2}$，
∴AH=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t或$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$，
在Rt△AEH中，AE²=EH²+AH²，
（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{5-t}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{79}}{2}$）²，
∴解得：t₁=3，t₂=7，
当t=3时，OH=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$t=4，
∴E点坐标为（4，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
把E（4，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）代入y=y=$\frac{k}{x}$得k=4×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$；
当t=7时，OH=$\frac{5}{2}$+$\frac{t}{2}$=6，
∴E点坐标为（6，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
把E（6，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=6×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$；
综上所述：k的值为10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．
故答案是：10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的坐标满足其函数解析式，运用待定系数法求函数的解析式等知识，用未知数表示出EH，AH的长是解题关键．