Question

5．已知关于x的一元二次方程mx²-（m-1）x-1=0．
（1）求证：这个一元二次方程总有两个实数根；
（2）若二次函数y=mx²-（m-1）x-1有最大值0，则m的值为-1；
（3）若x₁、x₂是原方程的两根，且$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=2x₁x₂+1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式得到△=（m+1）²，根据非负数的性质即可得到△≥0，于是利用判别式的意义即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质得m＜0且$\frac{4m×（-1）-（m-1）^{2}}{4m}$=0，然后解方程即可；
（3）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{m-1}{m}$，x₁x₂=-$\frac{1}{m}$，再把$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=2x₁x₂+1变形得到$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2x₁x₂+1，则$\frac{（\frac{m-1}{m}）^{2}-2•（-\frac{1}{m}）}{-\frac{1}{m}}$=2•（-$\frac{1}{m}$）+1，然后解关于m的方程即可．

解答 （1）证明：m≠0，
△=（m-1）²-4m×（-1）
=（m+1）²，
∵（m+1）²≥0，即△≥0，
∴这个一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵二次函数y=mx²-（m-1）x-1有最大值0，
∴m＜0且$\frac{4m×（-1）-（m-1）^{2}}{4m}$=0，
∴m=-1；
故答案为-1．
（3）解：x₁+x₂=$\frac{m-1}{m}$，x₁x₂=-$\frac{1}{m}$，
∵$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=2x₁x₂+1，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2x₁x₂+1，
∴$\frac{（\frac{m-1}{m}）^{2}-2•（-\frac{1}{m}）}{-\frac{1}{m}}$=2•（-$\frac{1}{m}$）+1，
整理得m²+m-1=0，
∴m=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或m=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式和二次函数的性质．