Question

4．如图，∠AOB=90°，且OA、OB分别与函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）、y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象交于A、B两点，则tan∠OBA的值是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又点A在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，可得S_△OBD=$\frac{3}{2}$，S_△AOC=1，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得$\frac{AO}{BO}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，然后由正切函数的定义求得答案．

解答 解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，

∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠OBD=∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴$\frac{{S}_{△ACO}}{{S}_{△BDO}}$=$（\frac{AO}{BO}）^{2}$，
又点A在反比例函数y=-$\frac{-2}{x}$（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，
可得S_△AOC=1，S_△OBD=$\frac{3}{2}$，
∴$（\frac{AO}{BO}）^{2}$=$\frac{2}{3}$，即$\frac{AO}{BO}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴tan∠OBA=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故选：B．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．