Question

16．已知一个矩形纸片OACB，OB=6，OA=11，点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合），经过点O折叠该纸片，得折痕OP和点B′，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得折痕PQ和点C′，当点C′恰好落在边OA上时BP的长为
$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$或$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．

Answer 1

分析 设BP=t，AQ=m，首先过点P作PE⊥OA于E，易证△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长，然后利用相似三角形的对应边成比例得到m=$\frac{1}{6}$t²-$\frac{11}{6}$t+6，即可求得t的值．

解答 解：过点P作PE⊥OA于E，
∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴$\frac{PE}{AC′}$=$\frac{PC′}{C′Q}$，
设BP=t，AQ=m，
∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，C′Q=CQ=6-m，
AC′=$\sqrt{C{′Q}^{2}-{AQ}^{2}}$=$\sqrt{36-12m}$，
∴$\frac{6}{\sqrt{36-12m}}$=$\frac{11-t}{6-m}$．
∵$\frac{11-t}{6-m}$=$\frac{6}{t}$，
∴m=$\frac{1}{6}$t²-$\frac{11}{6}$t+6，
又∵36-12m=t²，
将m=$\frac{1}{6}$t²-$\frac{11}{6}$t+6代入36-12m=t²，
化简得，3t²-22t+36=0，
解得：t₁=$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$，t₂=$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．
故答案为：$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$或$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题主要考查了图形的折叠问题，矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及运用数形结合思想列方程的综合运用，运用相似的性质列比例式得出方程求出BP是解决问题的关键．