Question

19．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以CE为对角线构造正方形CMEN，点N在正方形ABCD内部，连接AM，与CD边交于点F．若CF=3，DF=2，连接BN，则BN的长为$\frac{25}{7}$．

Answer 1

分析 连接MN，延长AM、BC交于点G，MN与CD交于点H，作NK⊥BC于K，由AD∥BG，得到$\frac{AD}{CG}$=$\frac{DF}{FC}$求出CG，设CH=x，由MH∥CG，得$\frac{HM}{CG}$=$\frac{FH}{FC}$，可以求出x，最后在RT△NBK中利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图，连接MN，延长AM、BC交于点G，MN与CD交于点H，作NK⊥BC于K．

∵四边形ABCD是正方形，DF=2．CF=3，
∴AD∥BG，AD=BC=CD=5，
∴$\frac{AD}{CG}$=$\frac{DF}{FC}$=$\frac{2}{3}$，
∴CG=$\frac{15}{2}$，
∵四边形ENCM是正方形，
∴NH=HM=CH=EH，MN⊥EC，设CH=x，
∴MH∥CG，
∴$\frac{HM}{CG}$=$\frac{FH}{FC}$，
∴$\frac{3-x}{3}$=$\frac{x}{\frac{15}{2}}$，
∴x=$\frac{15}{7}$，
在RT△BNK中，∵∠BKN=90°，NK=CH=$\frac{15}{7}$，BK=BC-CK=$\frac{20}{7}$，
∴BN=$\sqrt{B{K}^{2}+N{K}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{15}{7}）^{2}+（\frac{20}{7}）^{2}}$=$\frac{25}{7}$．
故答案为$\frac{25}{7}$．

点评 本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．