Question

15．如图，E，F分别是边长为6的正方形ABCD的边CD，AD上两点，且CE=DF，连接CF，BE交于点M，在MF上截取MN=MC，连接AN，若FN=$\frac{4}{3}$CM，则AN的长度为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 连接BN，作NG⊥AB于G，延长GN交CD于H，先证明△DFC≌△CEB，由NH∥DF，FN=$\frac{4}{3}$CM，得$\frac{CN}{CF}$=$\frac{CH}{CD}$=$\frac{3}{2}$，求出CH、DH，分别在RT△BGN，RT△AGN利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图连接BN，作NG⊥AB于G，延长GN交CD于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠BCD=∠DAB=90°，
在△DFC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=CE}\\{∠D=∠BCE}\\{DC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△CEB，
∴∠DCF=∠CBE，
∵∠DCF+∠BCM=90°，
∴∠CBE+∠BCM=90°，
∴∠MBC=90°，
∴BE⊥CF，
∵NM=CM，
∴BN=BC=6，
∵NH∥DF，FN=$\frac{4}{3}$CM，
∴$\frac{CN}{CF}$=$\frac{CH}{CD}$=$\frac{3}{2}$，
∴CH=$\frac{18}{5}$，DH=$\frac{12}{5}$，
∵∠DAG=∠AGH=∠D=90°，
∴四边形AGHD是矩形，
∴AG=DH=$\frac{12}{5}$，BG=$\frac{18}{5}$，
在RT△BGN中，GN=$\sqrt{B{N}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{18}{5}）^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
在RT△AGN中，AN=$\sqrt{A{G}^{2}+G{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．