Question

16．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N，作点P关于MN的对称点P′．试证：P′点在△ABC外接圆上，且P′B：P′C=BP：PC．

Answer 1

分析 根据平行得到的同位角相等可得PM=BM，利用轴对称的选择可得PM=P′M，同理可得NP′=NP=NC，那么点M是△P′BP的外心，点N是△P′PC的外心，进而证明∠BP′C=∠BAC，可得P′点在△ABC外接圆上，根据圆周角定理得到P′P平分∠BP′C，然后根据三角形角平分线定理即可得到结论．

解答 解：连接P′M，P′N，PP′，
∵点P关于MN的对称点为P′．
∴MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，
∴点M是△P′BP的外心，点N是△P′PC的外心，
∴∠BP′P=$\frac{1}{2}$∠BMP=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∠PP′C=$\frac{1}{2}$∠PNC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC．
从而，P′点与A，B，C共圆，
即P′在△ABC外接圆上；
∵PM∥AC，PN∥AB，
∴∠MPB=∠ABC=∠NPC=∠ACB=60°，
∴△PBM与△PCN是等边三角形．
∴∠BMP=∠CNP=60°，
∴∠BP′P=∠CP′P=30°，
∴P′P平分∠BP′C，
∴P′B：P′C=BP：PC．

点评 本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形的角平分线定理，四点共圆，熟练掌握三角形的角平分线定理是解题的关键．