Question

12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AD，CD于E，F，若AE=6，CF=4，则EF=2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠ADC=90°，∠OAE=∠ODE=∠ODF=∠OCF=45°，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，证出∠AOE=∠DOF，由ASA证明△AOE≌△DOF，得出AE=DF=6，同理：DE=CF=4，由勾股定理求出EF即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠OAE=∠ODE=∠ODF=∠OCF=45°，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠DOF，
在△AOE和△DOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠ODF}&{\;}\\{OA=OD}&{\;}\\{∠AOE=∠DOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴AE=DF=6，
同理：DE=CF=4，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
故答案为：2$\sqrt{13}$．

点评 考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理，根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解决本题的关键．