Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴负半轴交于B，与正半轴交于点C（8，0），且∠BAC＝90°．

（1）求该二次函数解析式；

（2）若N是线段BC上一动点，作NE∥AC，交AB于点E，连结AN，当△ANE面积最大时，求点N的坐标；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S．问：是否存在一个S的值，使得相应的点P有且只有2个？若有，求出这个S的值，并求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）（3，0）；（3）当S＝16时，相应的点P有且只有两个

【解析】

（1）证明，求出点B坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；

（2）设N（n，0），则BN＝n+2，BC＝10，证明△BNE∽△BAC，得到S△BEN＝（n+2）2，再求出S△BAN＝2n+4，利用割补法求出，根据二次函数性质即可求解；

（3）设P，分别求出当0＜m＜8和﹣2≤m＜0时S与m函数关系式，假设存在一个S的值，使得相应的点P有且只有2个，得到当S＝16时，m＝4或m＝这两个，问题得解．

解：（1）∵∠BAC＝90°，∠AOC=＝90°，

∴

∴OA2＝OBOC，

由题意知：OA＝4，OC＝8，

∴42＝OB8，

∴OB＝2，

∴B（﹣2，0），

将A、B、C三点坐标代入即得：

，

解得：，

∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4；

（2）设N（n，0），则BN＝n+2，BC＝10，

∵NE∥AC，

∴△BNE∽△BAC，

∴，

∵S△AC＝×10×4＝20，

∴，

S△BEN＝（n+2）2，

∵S△BAN＝×（n+2）×4＝2n+4，

∴，

∵，

∴当n＝3时，最大值S△ANE＝5，

此时N的坐标为：（3，0）；

（3）设直线AC对应的函数解析式为：y＝kx+b，

则，

解得：，

∴直线AC对应的函数解析式为，

如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q；

设P，则Q．

①当0＜m＜8时，

PQ，

S＝S△APQ+S△CPQ＝×8×＝﹣（m﹣4）2+16，

∴0＜S≤16；

②当﹣2≤m＜0时，

PQ＝（）﹣（）＝，

S＝S△CPQ﹣S△APQ＝×8×（）＝（m﹣4）2﹣16，

∴0＜S＜20；

∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，﹣2≤m＜0中m有一个值，此时有三个；

当16＜S＜20时，﹣2≤m＜0中m只有一个值；

当S＝16时，m＝4或m＝这两个．

故当S＝16时，相应的点P有且只有两个．