题目内容
【题目】如图,在中,,延长使,线段绕点C顺时针旋转90°得到线段,连结.
(1)依据题意补全图形;
(2)当时,的度数是__________;
(3)小聪通过画图、测量发现,当是一定度数时,.
小聪把这个猜想和同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:通过观察图形可以发现,如果把梯形补全成为正方形,就易证,因此易得当是特殊值时,问题得证;
想法2:要证,通过第(2)问,可知只需要证明是等边三角形,通过构造平行四边形,易证,通过,易证,从而解决问题;
想法3:通过,连结,易证,易得是等腰三角形,因此当是特殊值时,问题得证.
请你参考上面的想法,帮助小聪证明当是一定度数时,.(一种方法即可)
【答案】(1)详见解析;(2)60°;(3)当时结论成立,详见解析
【解析】
(1)根据题意补全图形即可得到答案;
(2)先算出,再根据旋转的性质得到,再相减即可得到答案;
(3) 证明想法一,过A作于E,先证明四边形是正方形,得到,再证明即可得到答案;
解:(1)补全图形
(2)当时,
,
∵线段绕点C顺时针旋转90°得到线段,
∴ ,
∴,
故答案为:60° ;
(3)当时结论成立.
证明:想法一:
过A作于E.
∵
∴四边形是正方形 ,
∴,,
∵,
∴,
<>∴(ASA),∴,
当时,
∴是等边三角形
∴ ;