Question

7．如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B=60°，∠C=45°，AC=6．
（1）求AD的长；（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和可得∠DAC=45°，根据等角对等边可得AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出AD的长；
（2）根据三角形内角和可得∠BAD=30°，再根据直角三角形的性质可得AB=2BD，然后利用勾股定理计算出BD的长，进而可得BC的长，然后利用三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵∠C=45°，AD是△ABC的边BC上的高，
∴∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∵AC²=AD²+CD²，
∴6²=2AD²，
∴AD=3$\sqrt{2}$；

（2）在Rt△ADB中，∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∴AB=2BD，
∵AB²=BD²+AD²，
∴（2BD）²=BD²+AD²，
3BD²=18，
BD=$\sqrt{6}$，
∴△ABC的面积：$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$（BD+DC）•AD=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$）×$3\sqrt{2}$=9+3$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了三角形内角和，以及勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．